微积分学示例

$f (x) = \frac{10 x}{x^{2} - 6}$ ; $(4, 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10 x}{x^{2} - 6}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 6}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 6}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 6$ 。

$10 \frac{(x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 \frac{(x^{2} - 6) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x^{2} - 6$ 乘以 $1$ 。

$10 \frac{x^{2} - 6 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$10 \frac{x^{2} - 6 - x (2 x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 \frac{x^{2} - 6 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$10 \frac{- x^{2} - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.9

组合 $10$ 和 $\frac{- x^{2} - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$ 。

$\frac{10 (- x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 10 x^{2} + 10 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.2.2

将 $10$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- 10 x^{2} - 60}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.3

从 $- 10 x^{2} - 60$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 1.10.3.1

从 $- 10 x^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- x^{2}) - 60}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.3.2

从 $- 60$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (- 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.3.3

从 $10 (- x^{2}) + 10 (- 6)$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.4

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10 (- (x^{2}) - 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.5

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$\frac{10 (- (x^{2}) - 1 (6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.6

从 $- (x^{2}) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{10 (- (x^{2} + 6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.7

将 $- (x^{2} + 6)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 6)$ 。

$\frac{10 (- 1 (x^{2} + 6))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.10.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 (x^{2} + 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.11

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$- \frac{10 ({(4)}^{2} + 6)}{{({(4)}^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

化简分子。

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解题步骤 1.12.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{10 (16 + 6)}{{(4^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.12.1.2

将 $16$ 和 $6$ 相加。

$- \frac{10 \cdot 22}{{(4^{2} - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2

化简分母。

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解题步骤 1.12.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{10 \cdot 22}{{(16 - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.12.2.2

从 $16$ 中减去 $6$ 。

$- \frac{10 \cdot 22}{10^{2}}$

解题步骤 1.12.2.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{10 \cdot 22}{100}$

解题步骤 1.12.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.12.3.1

将 $10$ 乘以 $22$ 。

$- \frac{220}{100}$

解题步骤 1.12.3.2

约去 $220$ 和 $100$ 的公因数。

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解题步骤 1.12.3.2.1

从 $220$ 中分解出因数 $20$ 。

$- \frac{20 (11)}{100}$

解题步骤 1.12.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.12.3.2.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $20$ 。

$- \frac{20 \cdot 11}{20 \cdot 5}$

解题步骤 1.12.3.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{20 \cdot 11}{20 \cdot 5}$

解题步骤 1.12.3.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{11}{5}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{11}{5}$ 和给定点 $(4, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = - \frac{11}{5} \cdot (x - (4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 4 = - \frac{11}{5} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 4 = - \frac{11}{5} x - \frac{11}{5} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{11}{5}$ 。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} - \frac{11}{5} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $- \frac{11}{5} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + 4 (\frac{11}{5})$

解题步骤 2.3.1.5.2

组合 $4$ 和 $\frac{11}{5}$ 。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + \frac{4 \cdot 11}{5}$

解题步骤 2.3.1.5.3

将 $4$ 乘以 $11$ 。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 11}{5} + \frac{44}{5}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $11$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 4 = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + 4$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44 + 4 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{44 + 20}{5}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $44$ 和 $20$ 相加。

$y = - \frac{11 x}{5} + \frac{64}{5}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{11}{5} x) + \frac{64}{5}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{11}{5} x + \frac{64}{5}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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