微积分学示例

$f (x) = \ln^{4} (x)$ at $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = \ln ({(2)}^{4})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \ln (2^{4})$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \ln ({(2)}^{4})$

解题步骤 1.2.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \ln (16)$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \ln (16)$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(x)}^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 ${(x)}^{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

解题步骤 2.1.3

使用 ${(x)}^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{4}{x^{4}}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.2.3

约去 $x^{3}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

解题步骤 2.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

解题步骤 2.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{x}$

解题步骤 2.3

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 2.4

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(2, \ln (16))$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\ln (16)) = 2 \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $2 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \ln (16) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \ln (16) = 2 x + 2 \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y - \ln (16) = 2 x - 4$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $\ln (16)$ 。

$y = 2 x - 4 + \ln (16)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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