微积分学示例

$f (x) = {({(x - 1)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = {({(2 - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y = {(1^{2} - (2))}^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2

一的任意次幂都为一。

$y = {(1 - (2))}^{2}$

解题步骤 1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = {(1 - 2)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{2} - x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x - 1)}^{2} - x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

解题步骤 2.1.3

使用 ${(x - 1)}^{2} - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， ${(x - 1)}^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 1) - 1)$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

解题步骤 2.5.3

合并项。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

解题步骤 2.5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 2 - 1)$

解题步骤 2.5.3.3

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$(2 ((x - 1) (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.5.4.2.1

运用分配律。

$(2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.2.2

运用分配律。

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.2.3

运用分配律。

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.4.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$(2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$(2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$(2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 (x^{2} - x - x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$(2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.4

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.5

化简。

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解题步骤 2.5.4.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.5

从 $- 4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$

解题步骤 2.5.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$ 。

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7

化简每一项。

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解题步骤 2.5.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.7.2.1

移动 $x$ 。

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.5

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.7.6.1

移动 $x$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.7

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.8

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x + 2 \cdot - 3$

解题步骤 2.5.7.10

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

解题步骤 2.5.8

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

解题步骤 2.5.9

将 $18 x$ 和 $4 x$ 相加。

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 22 x - 6$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$4 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

解题步骤 2.7.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

解题步骤 2.7.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 - 18 \cdot 4 + 22 (2) - 6$

解题步骤 2.7.1.4

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$32 - 72 + 22 (2) - 6$

解题步骤 2.7.1.5

将 $22$ 乘以 $2$ 。

$32 - 72 + 44 - 6$

解题步骤 2.7.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.7.2.1

从 $32$ 中减去 $72$ 。

$- 40 + 44 - 6$

解题步骤 2.7.2.2

将 $- 40$ 和 $44$ 相加。

$4 - 6$

解题步骤 2.7.2.3

从 $4$ 中减去 $6$ 。

$- 2$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 2$ 和给定点 $(2, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 2 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 1 = - 2 x + 4$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - 2 x + 4 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$y = - 2 x + 5$

解题步骤 4

微积分学 示例

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