微积分学示例

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{1}{2}$ 和 $y = \frac{π}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

解题步骤 1.2

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 1.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = \frac{1}{2}$ 处的导数。

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

解题步骤 1.5.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

解题步骤 1.5.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.5.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

解题步骤 1.5.1.6

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

解题步骤 1.5.1.7

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 1.5.1.8

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

解题步骤 1.5.1.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.5.2

将分子乘以分母的倒数。

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.5.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.6.4.1

约去公因数。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.5.4.6.4.2

重写表达式。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.5.4.6.5

计算指数。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.5.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.1

约去公因数。

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.5.5.2

重写表达式。

$2 \sqrt{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2 \sqrt{3}$ 和给定点 $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2.3

约去公因数。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2.4

重写表达式。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

解题步骤 2.3.3.6

从 $π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- (2 \sqrt{3} - π)$ 重写为 $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

解题步骤 2.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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