微积分学示例

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

解题步骤 1

求 $x = 4$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.4

化简 $\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

约去 ${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ 和 $4 (4) - {(4)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.1

重新排序项。

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.1.2

从 ${(4)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.1.3

从 $- 16 \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.1.4

从 $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.1.5

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.5.1

从 $- {(4)}^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.1.5.2

从 $4 \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

解题步骤 1.2.4.1.5.3

从 $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

解题步骤 1.2.4.1.5.4

约去公因数。

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

解题步骤 1.2.4.1.5.5

重写表达式。

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

解题步骤 1.2.4.2

约去 $4 - 4 \cdot 4$ 和 $- 4^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $- 4 \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

解题步骤 1.2.4.2.3

从 $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

解题步骤 1.2.4.2.4

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.4.1

从 $- 4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

解题步骤 1.2.4.2.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

解题步骤 1.2.4.2.4.3

从 $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

解题步骤 1.2.4.2.4.4

约去公因数。

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

解题步骤 1.2.4.2.4.5

重写表达式。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.2.4.3

约去 $1 - 1 \cdot 4$ 和 $- 1 \cdot 4 + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.3.1

重新排序项。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.3.2

约去公因数。

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.4.3.3

重写表达式。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 16 x$ 且 $g (x) = 4 x - x^{3}$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

根据加法法则， $4 x - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.4

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2.8

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

运用分配律。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

运用分配律。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.4.3

运用分配律。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.5.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.5.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.5

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.5.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.5.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.5.8

将 $16$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

合并 $8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- 64 x$ 和 $64 x$ 相加。

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3

从 $8 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $- 2 x^{4}$ 和 $3 x^{4}$ 相加。

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.5

从 $16 x^{3}$ 中减去 $48 x^{3}$ 。

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

从 $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

从 $- 32 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.3

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.4

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.5

从 $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

化简分母。

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解题步骤 2.3.5.1

从 $- x^{3} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.1.3

从 $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $2^{2}$ 重新排序。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.5

对 $x (2 + x) (2 - x)$ 运用乘积法则。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.6

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.8

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.9

将 ${(2 x + x^{2})}^{2}$ 重写为 $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.10

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ 。

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解题步骤 2.3.5.10.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.10.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.10.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.5.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.5.11.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.11.1.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.1.7.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.11.2

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.12

从 $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.5.12.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.12.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.12.3

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.12.4

从 $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.12.5

从 $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.13

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.3.5.13.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.13.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

解题步骤 2.3.5.13.3

重写多项式。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.13.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3.6.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

去掉圆括号。

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 32$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $16$ 中减去 $128$ 。

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4

将 $- 112$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

化简分母。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 108}{144}$

解题步骤 2.5.4.2

约去 $- 108$ 和 $144$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.2.1

从 $- 108$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 3)}{144}$

解题步骤 2.5.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.4.2.2.1

从 $144$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.5.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{3}{4}$ 和给定点 $(4, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

解题步骤 3.3.1.2

化简项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.3.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

解题步骤 3.3.1.2.3.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

解题步骤 3.3.1.2.3.3

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.2.3.4

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

解题步骤 3.3.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例