微积分学示例

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = - 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

解题步骤 1.1.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 重写为 ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3.2

将 ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} + 1$ 。

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.3

使用 $3 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

解题步骤 1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

解题步骤 1.3.7.2

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

组合 $54$ 和 $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

解题步骤 1.4.2.2

组合 $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $54$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

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解题步骤 1.6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.6.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{1^{4}}$

解题步骤 1.6.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 1.6.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(0, - 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $0 \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + 3 = 0 \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$y + 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 3

微积分学 示例

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