微积分学示例

$y = x^{4} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = \frac{1}{e}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

解题步骤 1.4.2

将 $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- {(1)}^{4} e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 e^{- (1)} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 e^{- 1} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 1 \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.5

将 $- 1 \frac{1}{e}$ 重写为 $- \frac{1}{e}$ 。

$- \frac{1}{e} + 4 {(1)}^{3} e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.6

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{e} + 4 \cdot 1 e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- (1)}$

解题步骤 1.6.1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{e} + 4 e^{- 1}$

解题步骤 1.6.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e}$

解题步骤 1.6.1.10

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$- \frac{1}{e} + \frac{4}{e}$

解题步骤 1.6.2

合并分数。

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解题步骤 1.6.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 4}{e}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3}{e}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{3}{e}$ 和给定点 $(1, \frac{1}{e})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{3}{e} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{e} \cdot (x - 1)$ 。

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} \cdot (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - \frac{1}{e} - \frac{3}{e} x - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{e}$ 。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} - \frac{3}{e} \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3.1.2.3

乘以 $- \frac{3}{e} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + 1 \frac{3}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

将 $\frac{3}{e}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 3}{e} + \frac{3}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.2.4

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{1}{e} - \frac{3 x}{e} + \frac{3}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.3

在公分母上合并分子。

$y + \frac{- 1 - 3 x + 3}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$y + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.5

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{y e}{e} + \frac{- 3 x + 2}{e} = 0$

解题步骤 2.3.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{y e - 3 x + 2}{e} = 0$

解题步骤 2.3.2

将分子设为等于零。

$y e - 3 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.3

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 2.3.3.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.3.1.1

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$y e + 2 = 3 x$

解题步骤 2.3.3.1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y e = 3 x - 2$

解题步骤 2.3.3.2

将 $y e = 3 x - 2$ 中的每一项除以 $e$ 并化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $y e = 3 x - 2$ 中的每一项都除以 $e$ 。

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

解题步骤 2.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y e}{e} = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

解题步骤 2.3.3.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 x}{e} + \frac{- 2}{e}$

解题步骤 2.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{3 x}{e} - \frac{2}{e}$

解题步骤 2.3.4

重新排序项。

$y = \frac{3}{e} x - \frac{2}{e}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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