微积分学示例

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = e$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.3.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $e^{x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1

移动 $e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 1.5.2.1.2

从 $2 x e^{x}$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 2 e^{x}$ 和 $2 e^{x}$ 相加。

$x^{2} e^{x} + 0$

解题步骤 1.5.2.4

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} e^{x}$

解题步骤 1.5.3

重新排序 $x^{2} e^{x}$ 的因式。

$e^{x} x^{2}$

解题步骤 1.5.4

将 $e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} e^{x}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 1$ 处的导数。

${(1)}^{2} e^{1}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

一的任意次幂都为一。

$1 e^{1}$

解题步骤 1.7.2

将 $e^{1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{1}$

解题步骤 1.7.3

化简。

$e$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $e$ 和给定点 $(1, e)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - e = e \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $e \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - e = e x + e \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 1$ 移到 $e$ 的左侧。

$y - e = e x - 1 \cdot e$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 1 e$ 重写为 $- e$ 。

$y - e = e x - e$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $e$ 。

$y = e x - e + e$

解题步骤 2.3.2.2

合并 $e x - e + e$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- e$ 和 $e$ 相加。

$y = e x + 0$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $e x$ 和 $0$ 相加。

$y = e x$

解题步骤 3

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