微积分学示例

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 9$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{2 x} - 4$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{2 x} - 4$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

解题步骤 1.1.3

使用 $e^{2 x} - 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $e^{2 x} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.4.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.4.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

解题步骤 1.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $2 e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

解题步骤 1.4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

解题步骤 1.5.3

合并项。

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解题步骤 1.5.3.1

通过指数相加将 $e^{2 x}$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 1.5.3.1.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

解题步骤 1.5.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

解题步骤 1.5.3.1.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

解题步骤 1.5.3.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

解题步骤 1.7.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

解题步骤 1.7.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 16 e^{2 (0)}$

解题步骤 1.7.1.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 - 16 e^{0}$

解题步骤 1.7.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$4 - 16 \cdot 1$

解题步骤 1.7.1.6

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$4 - 16$

解题步骤 1.7.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$- 12$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 12$ 和给定点 $(0, 9)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 9 = - 12 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$y = - 12 x + 9$

解题步骤 3

微积分学 示例

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