微积分学示例

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{8}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $8$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

解题步骤 1.2.6

重新排序。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 移到 $y^{8}$ 的左侧。

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

解题步骤 1.2.6.2

重新排序项。

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

解题步骤 1.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $2 y^{8} x$ 。

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

解题步骤 1.5.2

将 $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ 中的每一项除以 $8 y^{7} x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ 中的每一项都除以 $8 y^{7} x^{2}$ 。

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去 $y^{7}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.1

从 $- 2 y^{8} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.2.1

从 $8 y^{7} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.2

约去 $y^{8}$ 和 $y^{7}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.2.1

从 $- y^{8} x$ 中分解出因数 $y^{7}$ 。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.2.2.1

从 $4 y^{7} x^{2}$ 中分解出因数 $y^{7}$ 。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

解题步骤 1.5.2.3.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.3.1

从 $- y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.3.2.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

解题步骤 1.5.2.3.3.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y}{4 x}$

解题步骤 1.5.2.3.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{4 x}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 3$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{y}{4 (3)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{1}{4 (3)}$

解题步骤 1.7.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{12}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{1}{12}$ 和给定点 $(3, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.5

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{- 1}{4}$ 和 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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