微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = - 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3

乘。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$x^{- 2} + 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{- 2}$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.5.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(1, - 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 = x - 1$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = x - 1 - 1$

解题步骤 2.3.2.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$y = x - 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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