微积分学示例

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 5$ at $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 5$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 1.2.4

化简 ${(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 5$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 8 - 4 {(2)}^{2} + 5$

解题步骤 1.2.4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 8 - 4 \cdot 4 + 5$

解题步骤 1.2.4.1.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = 8 - 16 + 5$

解题步骤 1.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $8$ 中减去 $16$ 。

$y = - 8 + 5$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $- 8$ 和 $5$ 相加。

$y = - 3$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = - 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 2.4

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$3 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 4 - 8 \cdot 2$

解题步骤 2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 - 8 \cdot 2$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$12 - 16$

解题步骤 2.5.2

从 $12$ 中减去 $16$ 。

$- 4$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 4$ 和给定点 $(2, - 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 3) = - 4 \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 3 = - 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 4 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y + 3 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 3 = - 4 \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y + 3 = - 4 x - 4 \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y + 3 = - 4 x + 8$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = - 4 x + 8 - 3$

解题步骤 3.3.2.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$y = - 4 x + 5$

解题步骤 4

微积分学 示例

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