微积分学示例

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = e^{\sin (x)}$ 。

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

解题步骤 1.3.5.2

重新排序项。

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

化简左边。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ 中的因式重新排序。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

解题步骤 1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ 中的因式重新排序。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

解题步骤 1.5.3

在等式两边都加上 $x y' \sin (y)$ 。

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

解题步骤 1.5.4

从等式两边同时减去 $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 。

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 1.5.5

从 $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

从 $x y' \sin (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 1.5.5.2

从 $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 1.5.6

将 $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 中的每一项除以 $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.6.1

将 $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ 中的每一项都除以 $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 。

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.5.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.6.2.1

约去 $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.5.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.5.6.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 0$ 和 $y = 0$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $y$ 。

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.7.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.4

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.4

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

解题步骤 1.7.4.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

解题步骤 1.7.4.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{1 + 0}$

解题步骤 1.7.4.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.7.5

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.7.5.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(0, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3.2

化简 $1 \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 0$ 乘以 $1$ 。

$y = x + 0$

解题步骤 2.3.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y = x$

解题步骤 3

微积分学 示例

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