微积分学示例

$y = 4 \sin (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{6}$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 \cos (x)$

解题步骤 1.3

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的导数。

$4 \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2 \sqrt{3}$ 和给定点 $(\frac{π}{6}, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.2.3

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.1.2.2.4

约去公因数。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.2.5

重写表达式。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

解题步骤 2.3.1.2.3

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{- π}{3}$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3} (- π)}{3}$

解题步骤 2.3.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

提取负因数。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 2.3.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{3}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- \sqrt{3} π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{3}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- (\sqrt{3} π - 6)$ 重写为 $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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