微积分学示例

$y = 2 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{6}$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x)$

解题步骤 1.3

计算在 $x = \frac{π}{6}$ 处的导数。

$2 \cos (\frac{π}{6})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4.2.2

重写表达式。

$\sqrt{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\sqrt{3}$ 和给定点 $(\frac{π}{6}, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 + \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{π}{6}$ 。

$y - 1 = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + 1$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + \frac{6}{6}$

解题步骤 2.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{6}$

解题步骤 2.3.3.3

从 $- \sqrt{3} π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{6}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{6}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $- (\sqrt{3} π - 6)$ 重写为 $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ 。

$y = \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

解题步骤 2.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{6}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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