微积分学示例

$y = \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ at $x = 2$

解题步骤 1

求 $x = 2$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{{(2^{3} - (2))}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = \frac{1}{{({(2)}^{3} - (2))}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

化简分母。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{1}{{(8 - (2))}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{1}{{(8 - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$y = \frac{1}{6^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{1}{36}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \frac{1}{36}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{2}}$ 重写为 ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2

将 ${({(x^{3} - x)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} - x)}^{- 2}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x^{3} - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{3} - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{3} - x]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{3} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 {(x^{3} - x)}^{- 3} (3 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

合并项。

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解题步骤 2.5.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{3} - x)}^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.5.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.5.2

重新排序 $- \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}} (3 x^{2} - 1)$ 的因式。

$- (3 x^{2} - 1) \frac{2}{{(x^{3} - x)}^{3}}$

解题步骤 2.6

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{({(2)}^{3} - (2))}^{3}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

化简分母。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - (2))}^{3}}$

解题步骤 2.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{{(8 - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{6^{3}}$

解题步骤 2.7.1.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (3 {(2)}^{2} - 1) \frac{2}{216}$

解题步骤 2.7.2

化简项。

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解题步骤 2.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (3 \cdot 4 - 1) \frac{2}{216}$

解题步骤 2.7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- (12 - 1) \frac{2}{216}$

解题步骤 2.7.2.2

化简项。

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解题步骤 2.7.2.2.1

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$- 1 \cdot 11 \frac{2}{216}$

解题步骤 2.7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$- 11 (\frac{2}{216})$

解题步骤 2.7.2.2.3

约去 $2$ 和 $216$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 11 \frac{2 (1)}{216}$

解题步骤 2.7.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.3.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

解题步骤 2.7.2.2.3.2.2

约去公因数。

$- 11 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 108}$

解题步骤 2.7.2.2.3.2.3

重写表达式。

$- 11 (\frac{1}{108})$

解题步骤 2.7.2.2.4

组合 $- 11$ 和 $\frac{1}{108}$ 。

$\frac{- 11}{108}$

解题步骤 2.7.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{108}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{11}{108}$ 和给定点 $(2, \frac{1}{36})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{36}) = - \frac{11}{108} \cdot (x - (2))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{1}{36} = 0 + 0 - \frac{11}{108} \cdot (x - 2)$

解题步骤 3.3.1.2

化简项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11}{108} x - \frac{11}{108} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{11}{108}$ 。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} - \frac{11}{108} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.3.1

将 $- \frac{11}{108}$ 中前置负号移到分子中。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{108} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.2.3.2

从 $108$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 (54)} \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.2.3.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.2.3.4

约去公因数。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{2 \cdot 54} \cdot (2 \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.1.2.3.5

重写表达式。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11}{54} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.2.4

组合 $\frac{- 11}{54}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{- 11 \cdot - 1}{54}$

解题步骤 3.3.1.2.5

将 $- 11$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{x \cdot 11}{108} + \frac{11}{54}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $11$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - \frac{1}{36} = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{36}$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} + \frac{1}{36}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $\frac{11}{54}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36}$

解题步骤 3.3.2.3

要将 $\frac{1}{36}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11}{54} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $108$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $\frac{11}{54}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{54 \cdot 2} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $54$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{1}{36} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.4.3

将 $\frac{1}{36}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{36 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.4.4

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2}{108} + \frac{3}{108}$

解题步骤 3.3.2.5

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{11 \cdot 2 + 3}{108}$

解题步骤 3.3.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.6.1

将 $11$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{22 + 3}{108}$

解题步骤 3.3.2.6.2

将 $22$ 和 $3$ 相加。

$y = - \frac{11 x}{108} + \frac{25}{108}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{11}{108} x) + \frac{25}{108}$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{11}{108} x + \frac{25}{108}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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