微积分学示例

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 2 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 1.2.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ 的因式。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 1.3.2.3

重写多项式。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 1.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $2 x - 2$ 乘以 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

约去 $x - 1$ 和 ${(x - 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

从 $2 (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1

从 ${(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

解题步骤 1.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{x - 1}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{2}{(2) - 1}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 1.5.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(2, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 2 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.2

化简 $2 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = 2 x - 4$

解题步骤 3

微积分学 示例

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