微积分学示例

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = - \frac{57}{4}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.11

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.12

约去公因数。

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解题步骤 1.2.12.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.12.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.6

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.2

化简分母。

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解题步骤 1.7.1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.7.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.7.1.2.3.2

重写表达式。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

解题步骤 1.7.1.2.4

计算指数。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

解题步骤 1.7.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.3.1

约去公因数。

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

解题步骤 1.7.1.3.2

重写表达式。

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{16} - 1$

解题步骤 1.7.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 1.7.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

解题步骤 1.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

解题步骤 1.7.5

化简分子。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{5 - 16}{16}$

解题步骤 1.7.5.2

从 $5$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 11}{16}$

解题步骤 1.7.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{16}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- \frac{11}{16}$ 和给定点 $(4, - \frac{57}{4})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

化简项。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{11}{16}$ 。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.3.1

将 $- \frac{11}{16}$ 中前置负号移到分子中。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.2.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.2.3.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3.4

约去公因数。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3.5

重写表达式。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.2.4

组合 $\frac{- 11}{4}$ 和 $- 1$ 。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 2.3.1.2.5

将 $- 11$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $11$ 移到 $x$ 的左侧。

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{57}{4}$ 。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

从 $11$ 中减去 $57$ 。

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

解题步骤 2.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.4.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

解题步骤 2.3.2.4.2

约去 $- 46$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1

从 $- 46$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.4.2.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

解题步骤 2.3.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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