微积分学示例

$y = x + \sin (x)$ , $(π, π)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = π$ 和 $y = π$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$1 + \cos (x)$

解题步骤 1.3

计算在 $x = π$ 处的导数。

$1 + \cos (π)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$1 - \cos (0)$

解题步骤 1.4.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1$

解题步骤 1.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(π, π)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (π) = 0 \cdot (x - (π))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - π = 0 \cdot (x - π)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $x - π$ 。

$y - π = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $π$ 。

$y = π$

解题步骤 3

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