微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ at $(2, \frac{5}{3})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = \frac{5}{3}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{2}{3} x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 x}{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 x}{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x}{3} - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 x}{3} - 1 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{4 x}{3} - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 x}{3} - 1$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{4 (2)}{3} - 1$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 1$

解题步骤 1.6.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.6.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 1.6.5

化简分子。

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解题步骤 1.6.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 - 3}{3}$

解题步骤 1.6.5.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{5}{3}$ 和给定点 $(2, \frac{5}{3})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3} \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{5}{3} \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 2$ 。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 2}{3}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} + \frac{- 10}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{5}{3} = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{5}{3}$ 。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{10}{3} + \frac{5}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 x - 10 + 5}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $- 10$ 和 $5$ 相加。

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

从 $5 x - 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 (x) - 5}{3}$

解题步骤 2.3.2.4.2

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 (x) + 5 (- 1)}{3}$

解题步骤 2.3.2.4.3

从 $5 (x) + 5 (- 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \frac{5 (x - 1)}{3}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

运用分配律。

$y = \frac{5 x + 5 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{5 x - 5}{3}$

解题步骤 2.3.3.3

分解分数 $\frac{5 x - 5}{3}$ 成为两个分数。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

解题步骤 2.3.3.4

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

解题步骤 2.3.3.5

重新排序项。

$y = \frac{5}{3} x - \frac{5}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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