微积分学示例

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 8)}^{2}$ ; $(3, - 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = - 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 - x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 8)}^{2}$ 。

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8)}^{2}] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 8$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 8$ 。

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 - x) (2 (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 移到 $1 - x$ 的左侧。

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x + 0) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 (1 - x) (x^{2} - 8) (2 x) + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.11

化简表达式。

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解题步骤 1.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x + {(x^{2} - 8)}^{2} \cdot - 1$

解题步骤 1.3.11.2

将 $- 1$ 移到 ${(x^{2} - 8)}^{2}$ 的左侧。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - 1 \cdot {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.3.11.3

将 $- 1 {(x^{2} - 8)}^{2}$ 重写为 $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ 。

$4 (1 - x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.4.4

从 $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x - {(x^{2} - 8)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} - 8$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

从 $(4 - 4 x) (x^{2} - 8) x$ 中分解出因数 $x^{2} - 8$ 。

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 8)}^{2}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $- {(x^{2} - 8)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} - 8$ 。

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$

解题步骤 1.4.4.3

从 $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 8) (- (x^{2} - 8))$ 中分解出因数 $x^{2} - 8$ 。

$(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$

解题步骤 1.4.5

重新排序 $(x^{2} - 8) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8))$ 的因式。

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.6

化简每一项。

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解题步骤 1.4.6.1

运用分配律。

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.6.2.1

移动 $x$ 。

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 8)) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.6.3

运用分配律。

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 8) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.6.4

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.7

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$

解题步骤 1.4.8

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x - 5 x^{2} + 8) (x^{2} - 8)$ 。

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 1.4.9.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.9.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 8 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.2

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.9.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 32 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 8 + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.4

将 $- 8$ 乘以 $- 5$ 。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} + 8 \cdot - 8$

解题步骤 1.4.9.5

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 40 x^{2} + 8 x^{2} - 64$

解题步骤 1.4.10

将 $40 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$4 x^{3} - 32 x - 5 x^{4} + 48 x^{2} - 64$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$4 {(3)}^{3} - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 27 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6.1.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$108 - 32 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6.1.3

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$108 - 96 - 5 {(3)}^{4} + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6.1.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$108 - 96 - 5 \cdot 81 + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6.1.5

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$108 - 96 - 405 + 48 {(3)}^{2} - 64$

解题步骤 1.6.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$108 - 96 - 405 + 48 \cdot 9 - 64$

解题步骤 1.6.1.7

将 $48$ 乘以 $9$ 。

$108 - 96 - 405 + 432 - 64$

解题步骤 1.6.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $108$ 中减去 $96$ 。

$12 - 405 + 432 - 64$

解题步骤 1.6.2.2

从 $12$ 中减去 $405$ 。

$- 393 + 432 - 64$

解题步骤 1.6.2.3

将 $- 393$ 和 $432$ 相加。

$39 - 64$

解题步骤 1.6.2.4

从 $39$ 中减去 $64$ 。

$- 25$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 25$ 和给定点 $(3, - 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 2) = - 25 \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 25 \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 2 = 0 + 0 - 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 2 = - 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 2 = - 25 x - 25 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 25$ 乘以 $- 3$ 。

$y + 2 = - 25 x + 75$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = - 25 x + 75 - 2$

解题步骤 2.3.2.2

从 $75$ 中减去 $2$ 。

$y = - 25 x + 73$

解题步骤 3

微积分学 示例

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