微积分学示例

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 3$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} + 2$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ 。

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 4 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.9

将 $6 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 1.2.10

根据加法法则， $x^{3} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.2.12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 1.2.13

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.13.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.13.2

将 $3$ 移到 $3 x^{2} - 4 x + 2$ 的左侧。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.5

运用分配律。

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $6$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.4

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.7.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.8

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.6.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.11

将 $6 x^{4}$ 和 $9 x^{4}$ 相加。

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.12

从 $- 4 x^{3}$ 中减去 $12 x^{3}$ 。

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

解题步骤 1.3.7

重新排序项。

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.2

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.3

一的任意次幂都为一。

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.4

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.5

一的任意次幂都为一。

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

解题步骤 1.5.1.7

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

解题步骤 1.5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.2.1

从 $15$ 中减去 $16$ 。

$- 1 + 6 + 12 - 8$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$5 + 12 - 8$

解题步骤 1.5.2.3

将 $5$ 和 $12$ 相加。

$17 - 8$

解题步骤 1.5.2.4

从 $17$ 中减去 $8$ 。

$9$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用斜率 $9$ 和给定点 $(1, 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简 $9 \cdot (x - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 3 = 9 x - 9$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = 9 x - 9 + 3$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 9$ 和 $3$ 相加。

$y = 9 x - 6$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例