微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 16$ 和 $y = 32$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - 8$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11

化简。

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解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2

合并项。

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解题步骤 1.11.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.11.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.11.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.4

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.5

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.6

约去公因数。

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解题步骤 1.11.2.6.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.11.2.6.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.6.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.8

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.9

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.11

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.2.12

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12

计算在 $x = 16$ 处的导数。

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

化简。

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解题步骤 1.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.13.1.1

化简分子。

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解题步骤 1.13.1.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.13.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.1.4

计算指数。

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.3

用 $12$ 除以 $2$ 。

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.4

化简分母。

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解题步骤 1.13.1.4.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.13.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.13.1.4.3.1

约去公因数。

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.13.1.4.3.2

重写表达式。

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

解题步骤 1.13.1.4.4

计算指数。

$6 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.13.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.13.1.5.1

约去公因数。

$6 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.13.1.5.2

重写表达式。

$6 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.13.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 - 1$

解题步骤 1.13.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$5$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $5$ 和给定点 $(16, 32)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $5 \cdot (x - 16)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

解题步骤 2.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 16$ 。

$y - 32 = 5 x - 80$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $32$ 。

$y = 5 x - 80 + 32$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 80$ 和 $32$ 相加。

$y = 5 x - 48$

解题步骤 3

微积分学 示例

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