微积分学示例

$y = \sqrt{8 + x^{3}}$ , $(1, 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{8 + x^{3}}$ 重写成 ${(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 8 + x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 + x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $8 + x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $8 + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

解题步骤 1.12

合并分数。

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解题步骤 1.12.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

解题步骤 1.12.2

组合 $\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {(8 + {(1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

化简。

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解题步骤 1.14.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.2

化简分母。

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解题步骤 1.14.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.2.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.2.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.14.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.14.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.14.2.5.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 1.14.2.6

计算指数。

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.14.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.14.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.14.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{6}$

解题步骤 1.14.3.3

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.14.3.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{6}$

解题步骤 1.14.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.14.3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.14.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.14.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{2}$ 和给定点 $(1, 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 6}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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