微积分学示例

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1

求 $x = \frac{π}{4}$ 的对应 $y$ 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2

化简 $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

使用正弦倍角公式。

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

解题步骤 1.2.2.2.2

约去公因数。

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 1.2.2.2.3

重写表达式。

$y = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{4}$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 2.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2.13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.14

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数。

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.3.4.1

约去公因数。

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.4.2

重写表达式。

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.5

计算指数。

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5.4

重写表达式。

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.6.1

约去公因数。

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.6.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.8

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 2.15.1.9

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.10.4.1

约去公因数。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10.4.2

重写表达式。

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10.5

计算指数。

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

解题步骤 2.15.1.12

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1.12.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

解题步骤 2.15.1.12.2

约去公因数。

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.15.1.12.3

重写表达式。

$- 1 + \frac{2}{2}$

解题步骤 2.15.1.13

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 2.15.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(\frac{π}{4}, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $0$ 乘以 $x - \frac{π}{4}$ 。

$y - 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例