微积分学示例

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = \frac{1}{9}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 8 + e^{x}$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $8 + e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $8 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

合并 $8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.7

从 $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.8

将 $- (e^{x} x - 8)$ 重写为 $- 1 (e^{x} x - 8)$ 。

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4.10

将 $- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $0 \cdot e^{0}$ 重写为 ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ 。

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 0 \cdot e^{0}$ 和 $b = 2$ 。

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4

化简。

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解题步骤 1.6.1.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.3

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.6.1.4.4.1

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

解题步骤 1.6.1.4.4.2

重写多项式。

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.4.3

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 0 \cdot e^{0}$ 和 $b = 2$ 。

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.4.7

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分母。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $e^{0}$ 重写为 ${(e^{0})}^{3}$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = e^{0}$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4

化简。

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解题步骤 1.6.2.4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.6

将 ${(e^{0})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.6.2.4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.6.2

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.8

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.4.9

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.5

对 $3 \cdot 3$ 运用乘积法则。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

解题步骤 1.6.2.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 1.6.2.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

解题步骤 1.6.3

化简表达式。

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解题步骤 1.6.3.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

解题步骤 1.6.3.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{- 8}{81}$

解题步骤 1.6.3.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{8}{81}$

解题步骤 1.6.4

乘以 $- - \frac{8}{81}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{8}{81})$

解题步骤 1.6.4.2

将 $\frac{8}{81}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{81}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{8}{81}$ 和给定点 $(0, \frac{1}{9})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{8}{81}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{9}$ 。

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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