微积分学示例

$y = 8 \sqrt{x}$ , $(4, 16)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = 16$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

组合 $8$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.12

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

约去公因数。

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解题步骤 1.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.3

重写表达式。

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.2

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.15.2.1

将 $4$ 乘以 $4^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.15.2.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.2.3

在公分母上合并分子。

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 1.15.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.3

化简表达式。

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解题步骤 1.15.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.15.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.15.4.1

约去公因数。

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 1.15.4.2

重写表达式。

$2^{1}$

解题步骤 1.15.5

计算指数。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(4, 16)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y - 16 = 2 x - 8$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$y = 2 x - 8 + 16$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 8$ 和 $16$ 相加。

$y = 2 x + 8$

解题步骤 3

微积分学 示例

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