微积分学示例

$y = x^{3} - 2 x + 1$ , $(3, 22)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 22$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 2$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$3 {(3)}^{2} - 2$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $3$ 乘以 ${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{1} {(3)}^{2} - 2$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3^{1 + 2} - 2$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3^{3} - 2$

解题步骤 1.5.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 2$

解题步骤 1.5.2

从 $27$ 中减去 $2$ 。

$25$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $25$ 和给定点 $(3, 22)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (22) = 25 \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 22 = 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $25 \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 22 = 0 + 0 + 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 22 = 25 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 22 = 25 x + 25 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

将 $25$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 22 = 25 x - 75$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $22$ 。

$y = 25 x - 75 + 22$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 75$ 和 $22$ 相加。

$y = 25 x - 53$

解题步骤 3

微积分学 示例

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