微积分学示例

$8 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 17$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + x y + 8 y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 x^{2} + x y + 8 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$16 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$16 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$16 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [8 y^{2}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$16 x + x y' + y + 8 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$16 x + x y' + y + 8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 x + x y' + y + 8 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 x + x y' + y + 8 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$16 x + x y' + y + 8 (2 y y')$

解题步骤 1.2.4.4

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 x + x y' + y + 16 y y'$

解题步骤 1.2.5

重新排序项。

$x y' + 16 y y' + 16 x + y$

解题步骤 1.3

因为 $17$ 对于 $x$ 是常数，所以 $17$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + 16 y y' + 16 x + y = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.1.1

从等式两边同时减去 $16 x$ 。

$x y' + 16 y y' + y = - 16 x$

解题步骤 1.5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 16 y y' = - 16 x - y$

解题步骤 1.5.2

从 $x y' + 16 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + 16 y y' = - 16 x - y$

解题步骤 1.5.2.2

从 $16 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' (16 y) = - 16 x - y$

解题步骤 1.5.2.3

从 $y' (x) + y' (16 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 16 y) = - 16 x - y$

解题步骤 1.5.3

将 $y' (x + 16 y) = - 16 x - y$ 中的每一项除以 $x + 16 y$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $y' (x + 16 y) = - 16 x - y$ 中的每一项都除以 $x + 16 y$ 。

$\frac{y' (x + 16 y)}{x + 16 y} = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $x + 16 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 16 y)}{x + 16 y} = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 16 x}{x + 16 y} + \frac{- y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 16 x - y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x) - y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x) - (y)}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3.4

从 $- (16 x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x + y)}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.5.3.3.5.1

将 $- (16 x + y)$ 重写为 $- 1 (16 x + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x + y)}{x + 16 y}$

解题步骤 1.5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{16 x + y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x + y}{x + 16 y}$

解题步骤 1.7

计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{16 (1) + y}{(1) + 16 y}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{16 (1) + 1}{(1) + 16 (1)}$

解题步骤 1.7.3

去掉圆括号。

$- \frac{16 (1) + 1}{(1) + 16 (1)}$

解题步骤 1.7.4

化简分子。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{16 + 1}{1 + 16 (1)}$

解题步骤 1.7.4.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{17}{1 + 16 (1)}$

解题步骤 1.7.5

化简分母。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{17}{1 + 16}$

解题步骤 1.7.5.2

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$- \frac{17}{17}$

解题步骤 1.7.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.7.6.1

约去 $17$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.6.1.1

约去公因数。

$- \frac{17}{17}$

解题步骤 1.7.6.1.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - x + 1$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - x + 1 + 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - x + 2$

解题步骤 3

微积分学 示例

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