微积分学示例

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1

求 $x = \frac{π}{4}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2

化简 $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2.2

约去公因数。

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.2.3

重写表达式。

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.4.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.4.2

约去公因数。

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.4.3

重写表达式。

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.2.5

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.2.6

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

解题步骤 1.2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 1.2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.2.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.2.2.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.2.2.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.2.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.9.4.1

约去公因数。

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.2.2.9.4.2

重写表达式。

$y = 2^{1}$

解题步骤 1.2.2.9.5

计算指数。

$y = 2$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{4}$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 2.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.13.3

将 $4 \cos^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 2.13.4

将 $4 \sin^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \sin (x))}^{2}$ 。

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 2.13.5

将 $- {(2 \sin (x))}^{2}$ 和 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 重新排序。

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

解题步骤 2.13.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \cos (x)$ 和 $b = 2 \sin (x)$ 。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

解题步骤 2.13.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.8

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.13.8.1

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.8.2

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.8.3

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.9

合并 $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 2.13.9.1

按照 $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ 和 $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ 重新排列因数。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.9.2

将 $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 和 $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.9.3

将 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10

化简每一项。

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解题步骤 2.13.10.1

乘以 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.13.10.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.2

乘以 $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.13.10.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 2.13.10.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 2.13.10.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 2.13.10.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.13.10.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2.14

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数。

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15

化简。

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解题步骤 2.15.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.15.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.3.4.1

约去公因数。

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.4.2

重写表达式。

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.3.5

计算指数。

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.5.1

约去公因数。

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.5.2

重写表达式。

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.15.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 2.15.1.7

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.15.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.8.4.1

约去公因数。

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8.4.2

重写表达式。

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.8.5

计算指数。

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

解题步骤 2.15.1.10

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.10.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

解题步骤 2.15.1.10.2

约去公因数。

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

解题步骤 2.15.1.10.3

重写表达式。

$2 - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.15.1.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 - 2$

解题步骤 2.15.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(\frac{π}{4}, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $0$ 乘以 $x - \frac{π}{4}$ 。

$y - 2 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 4

微积分学 示例

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