微积分学示例

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

解题步骤 1

求 $x = \frac{π}{3}$ 的对应 $y$ 值。

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解题步骤 1.1

代入 $\frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.2.2

化简 $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用正弦倍角公式。

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

解题步骤 1.2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 1.2.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$y = \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.2.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{3}$ 和 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 2.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 2.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.13.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.14

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的导数。

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15

化简。

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解题步骤 2.15.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.15.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.3.4.1

约去公因数。

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3.4.2

重写表达式。

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.3.5

计算指数。

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.5.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.5.4

重写表达式。

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.6

将 $- 1 (\frac{3}{2})$ 重写为 $- (\frac{3}{2})$ 。

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.15.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.15.1.8

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.9

一的任意次幂都为一。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 2.15.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

解题步骤 2.15.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.15.1.11.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

解题步骤 2.15.1.11.2

约去公因数。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.15.1.11.3

重写表达式。

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.15.2

合并分数。

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解题步骤 2.15.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 + 1}{2}$

解题步骤 2.15.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.15.2.2.1

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.15.2.2.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$- 1$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- 1 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $1$ 。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

要将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.3.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.3.3.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 3.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 3.3.3.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.3.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 3.3.3.5.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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