微积分学示例

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = e$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

从 $e^{x} x - e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.6.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

解题步骤 1.6.1.2

化简。

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简表达式。

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解题步骤 1.6.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{e \cdot 0}{1}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $e$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 1.6.2.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $0$ 和给定点 $(1, e)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $x - 1$ 。

$y - e = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $e$ 。

$y = e$

解题步骤 3

微积分学 示例

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