微积分学示例

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 4$ 和 $y = 2 \sqrt{3}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 1.2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

解题步骤 1.2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

解题步骤 1.2.5

重新排序项。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

解题步骤 1.3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.1.1

从等式两边同时减去 $2 y^{2} x$ 。

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

解题步骤 1.5.1.2

在等式两边都加上 $18 x$ 。

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.2

从 $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $2 x^{2} y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 8 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.2.3

从 $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.4

因数。

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解题步骤 1.5.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.4.2

去掉多余的括号。

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

解题步骤 1.5.5

将 $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ 中的每一项除以 $2 y (x + 2) (x - 2)$ 并化简。

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解题步骤 1.5.5.1

将 $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ 中的每一项都除以 $2 y (x + 2) (x - 2)$ 。

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.3

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.4

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.2.4.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.1

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.1

从 $2 y (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.1

从 $- y^{2} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.1

从 $(y (x + 2)) (x - 2)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4

约去 $18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.4.1

从 $18 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.1

从 $2 y (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

解题步骤 1.5.5.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

解题步骤 1.7

计算 $x = - 4$ 和 $y = 2 \sqrt{3}$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{y (- 4)}{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)} + \frac{9 (- 4)}{y ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $2 \sqrt{3}$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{(2 \sqrt{3}) (- 4)}{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)} + \frac{9 (- 4)}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.3

将 $9$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{(2 \sqrt{3}) (- 4)}{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4

化简每一项。

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解题步骤 1.7.4.1

约去 $2$ 和 $(- 4) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1.1

从 $(2 \sqrt{3}) (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 ((\sqrt{3}) \cdot (- 4))}{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.1.2.1

从 $((- 4) + 2) ((- 4) - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 ((\sqrt{3}) \cdot (- 4))}{2 ((- 2 + 1) ((- 4) - 2))} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 ((\sqrt{3}) \cdot (- 4))}{2 ((- 2 + 1) ((- 4) - 2))} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{(\sqrt{3}) \cdot (- 4)}{(- 2 + 1) ((- 4) - 2)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.2

约去 $- 4$ 和 $(- 4) - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.1

从 $(\sqrt{3}) \cdot (- 4)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3} \cdot (- 2))}{(- 2 + 1) ((- 4) - 2)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.2.2.1

从 $(- 2 + 1) ((- 4) - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (\sqrt{3} \cdot (- 2))}{2 ((- 2 + 1) (- 2 - 1))} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 (\sqrt{3} \cdot (- 2))}{2 ((- 2 + 1) (- 2 - 1))} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{3} \cdot (- 2)}{(- 2 + 1) (- 2 - 1)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.3

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{(- 2 + 1) (- 2 - 1)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.4

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.4.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 1 (- 2 - 1)} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.4.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 1 \cdot - 3} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.6

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.7

乘以 $- - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 1.7.4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.7.2

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 36}{(2 \sqrt{3}) ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.8

约去 $- 36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.8.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \sqrt{3} ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.8.2.1

从 $2 \sqrt{3} ((- 4) + 2) ((- 4) - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 18}{2 ((\sqrt{3} ((- 4) + 2)) ((- 4) - 2))}$

解题步骤 1.7.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 18}{2 ((\sqrt{3} ((- 4) + 2)) ((- 4) - 2))}$

解题步骤 1.7.4.8.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 18}{(\sqrt{3} ((- 4) + 2)) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.9

约去 $- 18$ 和 $(- 4) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.9.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 9}{\sqrt{3} (- 4 + 2) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.9.2.1

从 $\sqrt{3} (- 4 + 2) ((- 4) - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 9}{2 (\sqrt{3} (- 2 + 1) ((- 4) - 2))}$

解题步骤 1.7.4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot - 9}{2 (\sqrt{3} (- 2 + 1) ((- 4) - 2))}$

解题步骤 1.7.4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 9}{\sqrt{3} (- 2 + 1) ((- 4) - 2)}$

解题步骤 1.7.4.10

化简分母。

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解题步骤 1.7.4.10.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 9}{\sqrt{3} \cdot - 1 (- 4 - 2)}$

解题步骤 1.7.4.10.2

提取负因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 9}{- (\sqrt{3} (- 4 - 2))}$

解题步骤 1.7.4.10.3

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 9}{- \sqrt{3} \cdot - 6}$

解题步骤 1.7.4.10.4

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 9}{6 \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7.4.11

约去 $- 9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.11.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (- 3)}{6 \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.4.11.2.1

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 (- 3)}{3 (2 \sqrt{3})}$

解题步骤 1.7.4.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{3 \cdot - 3}{3 (2 \sqrt{3})}$

解题步骤 1.7.4.11.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 3}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7.4.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7.4.13

将 $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.7.4.14

合并和化简分母。

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解题步骤 1.7.4.14.1

将 $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.7.4.14.2

移动 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

解题步骤 1.7.4.14.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

解题步骤 1.7.4.14.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

解题步骤 1.7.4.14.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.7.4.14.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.7.4.14.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.7.4.14.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.7.4.14.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.7.4.14.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.7.4.14.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.14.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.7.4.14.7.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 1.7.4.14.7.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.4.15

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.15.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.4.15.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.7.5

要将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.7.6

要将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.7.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.7.7.1

将 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.7.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.7.7.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.7.7.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{6} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.7.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.7.9

化简分子。

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解题步骤 1.7.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.7.9.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 1.7.9.3

从 $4 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 和给定点 $(- 4, 2 \sqrt{3})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (- 4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x + 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 和 $x$ 。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $2$ 。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y - 2 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2 \sqrt{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $2 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $2 \sqrt{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

微积分学示例