微积分学示例

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 0$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 0$ 处的导数。

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.6

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 1 + \cos (0)$

解题步骤 1.6.1.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 1 + 1$

解题步骤 1.6.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 + 1$

解题步骤 1.6.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2$ 和给定点 $(0, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y - 1 = 2 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 2 x + 1$

解题步骤 3

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