微积分学示例

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{3}, 2)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = \frac{π}{3}$ 和 $y = 2$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的导数。

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$2 \tan (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.3.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$2 \sqrt{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $2 \sqrt{3}$ 和给定点 $(\frac{π}{3}, 2)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (2) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 2 = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

解题步骤 2.3.1.4

乘以 $2 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

解题步骤 2.3.1.4.2

组合 $\frac{π}{3}$ 和 $- 2$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

解题步骤 2.3.1.4.3

组合 $\frac{π \cdot - 2}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将 $- 2$ 移到 $π$ 的左侧。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$y - 2 = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 6}{3}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $- 2 π \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 6}{3}$

解题步骤 2.3.3.6

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.7

从 $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $- (2 π \sqrt{3} - 6)$ 重写为 $- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)$ 。

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 6)}{3}$

解题步骤 2.3.3.9

将负号移到分数的前面。

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 6}{3}$

解题步骤 3

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