微积分学示例

$f (x) = {(\frac{x + 2}{x - 2})}^{2}$ ; $(6, 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 6$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 2}{x - 2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\frac{x + 2}{x - 2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{x + 2}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

解题步骤 1.2

组合 $2$ 和 $\frac{x + 2}{x - 2}$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

解题步骤 1.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.8

合并分数。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.8.3

将 $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ 乘以 $\frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.5

通过指数相加将 $x - 2$ 乘以 ${(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $x - 2$ 乘以 ${(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x + 4) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.2

合并 $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ 中相反的项。

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解题步骤 1.6.3.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{(2 x + 4) (0 - 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.4

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(2 x + 4) \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.5

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot - 4 + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.6

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 8 x + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.3.7

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 8 x - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.4

从 $- 8 x - 16$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 1.6.4.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x) - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.4.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x) + 8 (- 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.4.3

从 $8 (- x) + 8 (- 2)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x) - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.6

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{8 (- (x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.7

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.8

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.6.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (x + 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.7

计算在 $x = 6$ 处的导数。

$- \frac{8 ((6) + 2)}{{((6) - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{8 \cdot 8}{{(6 - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.8.2

化简分母。

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解题步骤 1.8.2.1

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

解题步骤 1.8.2.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

解题步骤 1.8.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.8.3.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{64}{64}$

解题步骤 1.8.3.2

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.3.2.1

约去公因数。

$- \frac{64}{64}$

解题步骤 1.8.3.2.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 1$ 和给定点 $(6, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (6))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 1 \cdot (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$y - 4 = - x + 6$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = - x + 6 + 4$

解题步骤 2.3.2.2

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$y = - x + 10$

解题步骤 3

微积分学 示例

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