微积分学示例

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\ln (\sqrt{x})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.11

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 1.1.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.12.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.12.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.13.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.13.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.1.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 x^{1}}$

解题步骤 1.1.13.2

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 。

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 4.2

将 $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 重写为 $1 {u_{2}}^{2} + C$ 。

$1 {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 4.3

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5

使用 $\ln (\sqrt{x})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例