微积分学示例

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2.2

移动 $\sqrt{x}$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

解题步骤 1.2.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

解题步骤 1.2.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

解题步骤 1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

解题步骤 1.2.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

解题步骤 1.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

解题步骤 1.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

解题步骤 1.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

解题步骤 1.2.7.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

解题步骤 1.2.7.5

化简。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int (\sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} d u_{1} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 5

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 5.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \cdot 2 d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 6.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u_{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\int 2 \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (2 \int \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 10

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 11

使 $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{3} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{3} = d u_{1}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 11.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 11.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{3})$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} (1 \cdot 2) d u_{3})$

解题步骤 12.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot 2 d u_{3})$

解题步骤 12.1.3

组合 $\frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}} \cdot 2}{2 u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 12.1.4

将 $2$ 移到 $\sqrt{u_{3}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 12.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 12.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 12.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{3}}$ 重写成 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.3.2

通过指数相加将 $u_{3}$ 乘以 ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.3.2.1

将 $u_{3}$ 乘以 ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.3.2.1.1

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.3.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} d u_{3})$

解题步骤 12.4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 12.4.1

通过将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{3})$

解题步骤 12.4.2

将 ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{3})$

解题步骤 12.4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3})$

解题步骤 12.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

解题步骤 13

根据幂法则， ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 14.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $\frac{u_{1}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 15.2

使用 $\frac{u_{1}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 15.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.1.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.3

合并。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) + C$

解题步骤 16.4.2

约去公因数。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.4.3

重写表达式。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 16.5

化简每一项。

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解题步骤 16.5.1

从 $1 (4 x^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 16.5.2

约去公因数。

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解题步骤 16.5.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 (3)} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 16.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 16.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 16.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$

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