微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

解题步骤 1

使 $u = 2 t + 1$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 t + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 t + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 t + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 t + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

解题步骤 1.5.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 5.5.2

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

解题步骤 5.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

解题步骤 5.5.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

解题步骤 5.5.4.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

解题步骤 5.6

化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{15}{8}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{15}{8}$

小数形式：

$1.875$

带分数形式：

$1 \frac{7}{8}$

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