微积分学示例

$\int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{u \sin (u)}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \sin (u)$ 。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6.2

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 重写为 $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 。

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

解题步骤 9

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.3.2

从 $- 2 x \cos (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.5

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 10.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 10.7

将 $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

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