微积分学示例

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

解题步骤 1

将 ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ 重写为 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 。

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.4

化简 $- e^{0}$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.5.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.6

化简 $- e^{0}$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

解题步骤 3.1.8

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

解题步骤 3.1.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

解题步骤 3.1.8.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3.1.10

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{u_{1}}{2}$ 。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2 u_{1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.4

用 $- u_{1}$ 除以 $1$ 。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 8

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

解题步骤 10

使 $u_{2} = - u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = - d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = - u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $- u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 12

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 14.2

使用 $- u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

解题步骤 14.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

解题步骤 15.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.3

化简。

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解题步骤 15.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.2.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.3.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 15.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

微积分学 示例

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