微积分学示例

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

解题步骤 1

使 $u = 1 - r$ 。然后使 $d u = - d r$ ，以便 $- d u = d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - r$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - r$ 求导。

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - r$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ 。

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $1$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d r} [- r]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- r$ 对 $r$ 的导数是 $- \frac{d}{d r} [r]$ 。

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{7}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{7})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

解题步骤 6

乘以 $(- u + 1) u^{- 7}$ 。

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- 7}$ 。

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解题步骤 7.1.1

移动 $u^{- 7}$ 。

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

解题步骤 7.1.2

将 $u^{- 7}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

解题步骤 7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

解题步骤 7.1.3

将 $- 7$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

解题步骤 7.2

将 $u^{- 7}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{- 6}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ 。

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $u^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 5}$ 移动到分母。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{- 7}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ 。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $u^{- 6}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

解题步骤 13.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 6}$ 移动到分母。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

解题步骤 14

使用 $1 - r$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$

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