微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \sin (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 1.3.1.3

重写表达式。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \sin (2 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = \sin (π)$

解题步骤 1.5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{upper} = \sin (0)$

解题步骤 1.5.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2

组合 ${u_{2}}^{5}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， ${u_{2}}^{5}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ 在 $0$ 处和在 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

解题步骤 5.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

解题步骤 5.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

解题步骤 5.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

小数形式：

$- 0.03515625$

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