微积分学示例

$\int \ln (2 x + 1) d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\ln (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \ln (u)$ ， $dv = 1$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $u$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

解题步骤 5.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

解题步骤 8

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\ln (2 x + 1)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

解题步骤 9.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

解题步骤 9.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1

运用分配律。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.3

将 $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.4.2

重写表达式。

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.5

要将 $\ln (2 x + 1) x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.6

组合 $\ln (2 x + 1) x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.8

化简分子。

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解题步骤 9.4.8.1

从 $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ 中分解出因数 $\ln (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 9.4.8.1.1

从 $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ 中分解出因数 $\ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.8.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.8.1.3

从 $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ 中分解出因数 $\ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.8.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

解题步骤 9.4.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

解题步骤 9.5

在公分母上合并分子。

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$

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