微积分学示例

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 8 x d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$8 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $u$ 乘以 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.2.3

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

解题步骤 2.3

组合 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 重写为 $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 6

使用 $4 x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

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