微积分学示例

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x + 5$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{3}$ 。

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.2

将 $\frac{u}{4}$ 乘以 $\frac{u^{3}}{4}$ 。

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 3.7

组合 $- \frac{5}{4}$ 和 $\frac{u^{3}}{4}$ 。

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

解题步骤 3.8

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{16}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{16}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{5}{16}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{16}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ 重写为 $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ 。

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{5}{16}$ 。

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

解题步骤 10.3.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

解题步骤 11

使用 $4 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$

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