微积分学示例

$\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt[3]{4 x^{3} + 5}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x^{3} + 5$ 。然后使 $d u = 12 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x^{3} + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x^{3} + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x^{3} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{u}}$ 乘以 $\frac{1}{12}$ 。

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

解题步骤 2.2

将 $12$ 移到 $\sqrt[3]{u}$ 的左侧。

$\int \frac{4}{12 \cdot \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 2.3

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{4 (1)}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $12 \sqrt[3]{u}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{4 (1)}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7

使用 $4 x^{3} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{2}{3}} + C$

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