微积分学示例

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x + 1$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 12 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 13$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{5}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{5}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{5}{3}$ 移到积分外。

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\ln (| u |)$ 在 $13$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ 。

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $13$ 之间的距离为 $13$ 。

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

解题步骤 5.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

解题步骤 5.3.3

用 $13$ 除以 $1$ 。

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

小数形式：

$4.27491559 \dots$

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