微积分学示例

$\int \sqrt{x^{2} + 2 x} d x$

解题步骤 1

配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 1)}^{2} - 1$ 。

$\int \sqrt{{(x + 1)}^{2} - 1} d x$

解题步骤 2

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u^{2} - 1} d u$

解题步骤 3

使 $u = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.2

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 5

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7.2

化简每一项。

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 10

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 11

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 12

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 13

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 14

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 16

化简表达式。

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解题步骤 16.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 16.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 17

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 18

通过相乘进行化简。

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解题步骤 18.1

将幂重写为乘积形式。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 18.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 19

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

解题步骤 20

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 23

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

解题步骤 25

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 26

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 27

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 28

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 29

通过相乘进行化简。

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解题步骤 29.1

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 29.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 30

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

解题步骤 31

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

解题步骤 32

化简。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 33

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 33.1

使用 $arcsec (u)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (u)) \tan (arcsec (u)) + \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |)) + C$

解题步骤 33.2

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$

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