微积分学示例

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \ln (x^{2})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \ln (x^{2})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.2

化简项。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2}{x^{2}} x$

解题步骤 1.1.3.2.2

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 1.1.3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

解题步骤 1.1.3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \ln (x^{2})$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 1.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \ln (x^{2})$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 ${(e^{8})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

解题步骤 1.5.1.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

解题步骤 1.5.2

使用对数规则把 $16$ 移到指数外部。

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

解题步骤 1.5.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

解题步骤 1.5.4

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 在 $16$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 4.2

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4096$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

解题步骤 4.4.2

化简。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 4.4.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

解题步骤 4.4.3

将 $\frac{4096}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

解题步骤 4.4.4

化简。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4096}{3}$ 。

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4096}{6}$

解题步骤 4.4.4.3

约去 $4096$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.3.1

从 $4096$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2048)}{6}$

解题步骤 4.4.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.4.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2048}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2048}{3}$

小数形式：

$682.\overline{6}$

带分数形式：

$682 \frac{2}{3}$

微积分学 示例

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